10-02-2007, 03:06:57 PM
Faktöriyel, 1' den n' ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. n, bir doğal sayı olmak üzere, n faktöriyel
n! = 1.2.3.4.5.6. ... .(n-2).(n-1).n
veya
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). ... .5.4.3.2.1
şeklinde tanımlanır.
0! ile 1! ' in 1 olduğu varsayılacaktır. Yani,
0! = 1 ve 1! = 1 dir.
1' den büyük doğal sayıların faktöriyelleri ise şöyle hesaplanacaktır:
• 2! = 2.1 = 2
• 3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6
• 4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24
• 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120
• 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720
• 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040
• n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
• (2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). ... .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!
• (3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). ... .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!
• (n+1)! = (n+1).n.(n-1). ... .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!
• (n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!
Faktöriyelin Bazı Özellikleri:
1. n >= 2 olmak üzere, n! çift doğal sayıdır.
2. n >= 5 olmak üzere, n! sayısının son rakamı 0' dır. Yani, n! sayısının sonunda genelde 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı bulunur.
3. n! - 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
4. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı ise,
y! = an.x
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• y sayısı, a asal sayısına bölünür
• Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve bölümler toplanır.
5. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı değilse,
y! = an.x
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
• Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun biçimde düzenlenir.
ÖRNEKLER:
Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840
Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
Çözüm: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki farklı yolla yapabiliriz.
Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
20 = 5 . 4 tür. Dolayısıyla, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Yani, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile bölümünden kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile bölümünden kalanı bulmuş oluruz. Buna göre,
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
34 ün 20 ye bölümünden kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + ... + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan 14 tür.
Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözüm:
Küçük sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, toplamın sonunda da o kadar sıfır olacağından,
45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Dolayısıyla, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 bulunur.
İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı yine
1 + 9 = 10 olur.
Örnek 5: 48! - 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm:
48! in sonunda ne kadar sıfır varsa, o kadar 9 rakamı vardır. Dolayısıyla,
48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.
Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak üzere, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
n nin alabileceği en büyük değeri bulmak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda bölümler şöyle bulunur:
35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0
Dolayısıyla, n nin alabileceği en büyük değer, 11 + 3 + 1 = 15 olur.
Örnek 15: n bir doğal sayı olmak üzere,
83! / 14n
işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n' nin en büyük değeri kaç olmalıdır?
Çözüm:
14 = 2 . 7 olduğu için, 83! in içerisinde kaç tane 7 çarpanı varsa, n' nin en büyük değeri odur. Dolayısıyla,
83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n' nin alabileceği en büyük değer
11 + 1 = 12 olur.
Örnek 7: m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m > n olmak üzere,
ise, n kaçtır?
Çözüm: m > n koşuluna göre, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.
Örnek 8: 1! + 2! + 3! + ... + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki rakam kaç olur?
Çözüm:
Her terimi tek tek hesaplayalım.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, ...
5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bunları göz önüne almaya gerek yoktur. Bu nedenle, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10' a bölmeliyiz. Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.
1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 bulunur.
Dolayısıyla, birler basamağı 3 tür.
Örnek 9: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10
Çözüm:
8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52
8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.
n! = 1.2.3.4.5.6. ... .(n-2).(n-1).n
veya
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). ... .5.4.3.2.1
şeklinde tanımlanır.
0! ile 1! ' in 1 olduğu varsayılacaktır. Yani,
0! = 1 ve 1! = 1 dir.
1' den büyük doğal sayıların faktöriyelleri ise şöyle hesaplanacaktır:
• 2! = 2.1 = 2
• 3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6
• 4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24
• 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120
• 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720
• 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040
• n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
• (2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). ... .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!
• (3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). ... .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!
• (n+1)! = (n+1).n.(n-1). ... .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!
• (n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!
Faktöriyelin Bazı Özellikleri:
1. n >= 2 olmak üzere, n! çift doğal sayıdır.
2. n >= 5 olmak üzere, n! sayısının son rakamı 0' dır. Yani, n! sayısının sonunda genelde 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı bulunur.
3. n! - 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
4. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı ise,
y! = an.x
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• y sayısı, a asal sayısına bölünür
• Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve bölümler toplanır.
5. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı değilse,
y! = an.x
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
• Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun biçimde düzenlenir.
ÖRNEKLER:
Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840
Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
Çözüm: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki farklı yolla yapabiliriz.
Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
20 = 5 . 4 tür. Dolayısıyla, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Yani, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile bölümünden kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile bölümünden kalanı bulmuş oluruz. Buna göre,
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
34 ün 20 ye bölümünden kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + ... + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan 14 tür.
Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözüm:
Küçük sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, toplamın sonunda da o kadar sıfır olacağından,
45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Dolayısıyla, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 bulunur.
İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı yine
1 + 9 = 10 olur.
Örnek 5: 48! - 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm:
48! in sonunda ne kadar sıfır varsa, o kadar 9 rakamı vardır. Dolayısıyla,
48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.
Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak üzere, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
n nin alabileceği en büyük değeri bulmak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda bölümler şöyle bulunur:
35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0
Dolayısıyla, n nin alabileceği en büyük değer, 11 + 3 + 1 = 15 olur.
Örnek 15: n bir doğal sayı olmak üzere,
83! / 14n
işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n' nin en büyük değeri kaç olmalıdır?
Çözüm:
14 = 2 . 7 olduğu için, 83! in içerisinde kaç tane 7 çarpanı varsa, n' nin en büyük değeri odur. Dolayısıyla,
83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n' nin alabileceği en büyük değer
11 + 1 = 12 olur.
Örnek 7: m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m > n olmak üzere,
ise, n kaçtır?
Çözüm: m > n koşuluna göre, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.
Örnek 8: 1! + 2! + 3! + ... + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki rakam kaç olur?
Çözüm:
Her terimi tek tek hesaplayalım.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, ...
5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bunları göz önüne almaya gerek yoktur. Bu nedenle, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10' a bölmeliyiz. Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.
1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 bulunur.
Dolayısıyla, birler basamağı 3 tür.
Örnek 9: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10
Çözüm:
8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52
8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.
